1. $A = \begin{pmatrix} a + 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ a & 2 \end{pmatrix}$ හා $C = \begin{pmatrix} a & 1 \\ a & 2\end{pmatrix}$ යැයි ගනිමු; මෙහි $a \in \mathbb{R}$ වේ. $A^TB - I = C$ බව පෙන්වන්න; මෙහි $I$ යනු ගණය 2 වන ඒකක න්‍යාසය වේ. $C^{-1}$ පවතින්නේ $a \neq 0$ ම නම් පමණක් බව ද පෙන්වන්න.

දැන්, $a = 1$ යැයි ගනිමු. $C^{-1}$ ලියා දක්වන්න.
$CPC = 2I + C$ වන පරිදි $P$ න්‍යාසය සොයන්න.

2. $z,w \in \mathbb{C}$ යැයි ගනිමු. $|z|^2 = z\bar{z}$ බව පෙන්වා, එය $z - w$ ට යෙදීමෙන්

$|z – w|^2 = |z|^2 - 2Rez\bar{w} + |w|^2$ බව පෙන්වන්න.

$|1 - z\bar{w}|^2$ සඳහා ද එවැනි ප්‍රකාශනයක්ලියා දක්වා, $|z - w|^2 - |1 - z\bar{w}|^2 = - (1- |z|^2)(1-|w|^2)$ බව පෙන්වන්න.

$|w| = 1$ හා $z \neq w$ නම් $\left| \frac{z-w}{1-z\bar{w}} \right| = 1$ බව අපෝහනය කරන්න.

3. $1 + \sqrt{3}i$ යන්න $r( \cos \theta + i \sin \theta)$ ආකාරයෙන් ප්‍රකාශ කරන්න; මෙහි $r > 0$ හා $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ වේ. ආගන්ඩ් සටහනක, $O$ ලක්ෂ්‍යයෙන් මූලය ද $A$ ලක්ෂයෙන් $1 + \sqrt{3}i$ සංකිර්ණ සංඛ්‍යාව ද නිරූපණය කරයි. $OABCDE$ යනු $O$ හා $A$ අනුයාත ශීර්ෂ ලෙස ඇතිව ශීර්ෂවල අනුපිළිවෙළ වාමාවර්තත අතට ගෙන ඇති සවිධි ෂඩස්‍රය යැයි ගනිමු. $B, C, D$ හා $E$ ලක්ෂ්‍ය මගින් නිරූපණය කරනු ලබන සංකීර්ණ සංඛ්‍යා සොයන්න.