ගණින අභ්‍යූහන මුලධර්මය භාවිතයෙන්‌, සියලු $n \in \mathbb{Z} ^ +$ සඳහා $\displaystyle\sum_{r=1}^{n} r(3r + 1) = n(n + 1)^2$ බව සාධනය කරන්න.

$x^2 - 1 \geq |x + 1|$ අසමානතාව සපුරාලන $x$ හි සියලු ම තාත්ත්වික අගයන්‌ සොයන්න.

ආගන්ඩ්  සටහනක, $Arg(z - 2i) = {\pi \over 3}$ යන්න සපුරාලන $z$ සංකීර්ණ සංඛ්‍යා නිරූපණය කරන ලක්ෂ්‍යවල පථය වන $l$ හි දළ සටහනක්‌ අඳින්න.
$P$  හා $Q$ යනු ඉහත ආගන්ඩ්‌ සටහනෙහි පිළිවෙළින්‌ $2i$  හා $\sqrt{3} + 5i$  සංකීර්ණ සංඛ්‍යා නිරූපණය කරන ලක්ෂ්‍ය යැයි ගනිමු. $PQ$ දුර සොයා $Q$ ලක්ෂ්‍යය $l$ මත පිහිටන බව පෙන්වන්න.

INFINITY යන වචනයෙහි අකුරු අට, වෙනස් ආකාර කීයකට පේළියක පිළියෙල කල හැකි ද?

මෙම පිළියෙළ කිරීම් වලින් කොපමණක 

• (i) I අකුරු තුන ම එක ලග තිබේ ද ?
• (ii) හරියටම එක I අකුරක් හා N අකුරු දෙක ම මුල් අකුරු තුන ලෙස තිබේ ද ?

$0 < \alpha < {\pi \over 2}$ යයි ගනිමු. $\lim\limits_{x \to \alpha} {x ^ 3 - \alpha ^ 3 \over \tan x - \tan \alpha } = 3\alpha^2 \cos^2\alpha$ බව පෙන්වන්න.

$0 <a<b$ යැයි ගනිමු. $\frac{d}{dx} \sin^{-1} \Big( \sqrt{\frac{b - a}{b}} \cos x \Big) = - \frac{\sqrt{b - a} \sin x}{\sqrt{a \cos ^ 2x + b \sin^2 x}}$ බව පෙන්වන්න.

ඒ නයින්,  $\int \frac{\sin x}{\sqrt{a \cos ^ 2 x + b \sin ^2 x}} dx$ සොයන්න.

$C$ වක්‍රයක්, $0 < \theta < {\pi \over 2}$ සඳහා $x = 3 \cos \theta - \cos^3\theta, y = 3 \sin \theta - \sin^3\theta$ මගින් පරාමිතිකව දෙනු ලැබේ. $\frac{\mathrm dy}{\mathrm d x} = - \cot^3 \theta$ බව පෙන්වන්න 

ස්පර්ශ රේඛාවේ අනුක්‍රමණය $-1$ වන පරිදි $C$  වක්‍රය මත වූ $P$ ලක්ෂ්‍යයෙහි ඛණ්ඩාංක සොයන්න.

$l_1$ හා $l_2$ යනු පිළිවෙළින් $3x - 4y = 2$ හා $4x - 3y = 1$ මගින් දෙනු ලබන සරල රේඛා යයි ගනිමු.

• (i) $l_1$ හා $l_2$ අතර කෝණවල සමච්ඡේදකයන්හි සමීකරණ ලියා දක්වන්න.
• (i) $l_1$ හා $l_2$ අතර සුළු කෝණයේ සමච්ඡේදකයන්හි සමීකරණ ලියා දක්වන්න. 

S යනු $x^2 + y^2 -4 = 0$ මගින්‌ දෙනු ලබන වෘත්තය යැයි ද $l$ යනු $y=x+l$ මගින්‌ දෙනු ලබන සරල රේඛාව යැසි ද ගනිමු. $S$ හා $l$ හි ඡේදන ලක්ෂ්‍ය හරහා යන්නා වූ ද $S$ වෘත්තය ප්‍රලම්බව ඡේදනය කරන්නා වූ ද වෘත්තයෙහි සමීකරණය සොයන්න.

$-\pi < \theta \ < \pi$ සඳහා  $\Big( \cos {\frac{\theta}{2}} + \sin \frac{\theta}{2} \Big) ^ 2 = 1 + \sin \theta$ බව පෙන්වන්න. ඒ නයින්, $\cos \frac{\pi}{12} + \sin \frac{\pi}{12} = \sqrt{\frac{3}{2}}$ බව පෙන්වා $\cos \frac{\pi}{12} - \sin \frac{\pi}{12}$ හි අගයද සොයන්න. $\sin \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}$ බව අපෝහනය කරන්න.